Polynômes · Dérivées · Suites · Trigonométrie · Probabilités · Exponentielle · Produit scalaire — avec exemples corrigés et quiz interactif.
Un polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole. Tout repose sur le discriminant Δ — c'est lui qui décide de tout.
Le discriminant est la première chose à calculer dès qu'on te donne un polynôme du second degré. Son signe te dit tout ce que tu as besoin de savoir sur les racines.
| Valeur de Δ | Racines | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 racines distinctes x₁ et x₂ | La parabole coupe l'axe des x en deux points |
| Δ = 0 | 1 racine double x₀ | La parabole touche l'axe en un seul point |
| Δ < 0 | Aucune racine réelle | La parabole ne coupe jamais l'axe des x |
Si Δ > 0, il y a deux racines :
Si Δ = 0, une seule racine double :
Astuce : les racines sont symétriques par rapport au sommet. Leur milieu vaut toujours x₀ = −b/2a.
Forme factorisée (si Δ ≥ 0) :
Le sommet est le point S(α ; β). C'est là que la fonction change de sens.
| Signe de a | Type de sommet | Variations |
|---|---|---|
| a > 0 (parabole ouverte en haut) | Minimum en α | Décroissante puis croissante |
| a < 0 (parabole ouverte en bas) | Maximum en α | Croissante puis décroissante |
Le tableau de signes répond à la question : "pour quelles valeurs de x est-ce que f(x) est positive ou négative ?"
Méthode en 4 étapes :
La dérivée f′(x) mesure la vitesse de variation de f en chaque point. Son signe détermine si f monte ou descend. C'est le lien central entre l'algèbre et les courbes.
La dérivée de f en x₀ est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 :
C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x₀. Si cette limite existe et est finie, f est dite dérivable en x₀.
Interprétation géométrique : le taux d'accroissement est la pente de la sécante entre les points (x₀, f(x₀)) et (x₀+h, f(x₀+h)). Quand h → 0, la sécante devient la tangente.
| f(x) | f′(x) | Condition |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | n ∈ ℝ |
| √x | 1 / (2√x) | x > 0 |
| 1/x | −1 / x² | x ≠ 0 |
| eˣ | eˣ | |
| ln(x) | 1/x | x > 0 |
| sin(x) | cos(x) | |
| cos(x) | −sin(x) |
Cas courant : (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹ · et (eᵘ)′ = u′·eᵘ · (ln(u))′ = u′/u
| Signe de f′(x) | f est… |
|---|---|
| f′(x) > 0 sur I | Strictement croissante sur I |
| f′(x) < 0 sur I | Strictement décroissante sur I |
| f′(x₀) = 0 et changement de signe | Extremum local en x₀ |
Attention : f′(x₀)=0 ne suffit pas à conclure qu'il y a un extremum — il faut que f′ change de signe. Si elle ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion.
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse x₀ est la droite qui "frôle" la courbe en ce point. Sa pente est f′(x₀).
En pratique : on calcule d'abord f(x₀) (ordonnée du point), puis f′(x₀) (pente), et on substitue dans la formule.
Une suite est une liste ordonnée de nombres. Les deux types au programme suivent une logique simple : on ajoute toujours la même chose (arithmétique) ou on multiplie toujours par la même chose (géométrique). Les suites auxiliaires permettent de traiter les cas mixtes.
Définition : u(n+1) = uₙ + r, où r est la raison.
Exemple : Somme de u₁ à u₁₀ = 10 × (u₁ + u₁₀) / 2
Sens de variation : r > 0 → croissante · r < 0 → décroissante · r = 0 → constante
Définition : u(n+1) = uₙ · q, où q est la raison.
Moyen mnémotechnique : premier terme × (1 − q^(nb de termes)) / (1 − q)
| Raison q | Suite (si u₀ > 0) |
|---|---|
| q > 1 | Croissante, tend vers +∞ |
| 0 < q < 1 | Décroissante, tend vers 0 |
| q = 1 | Constante |
| q < 0 | Alterne les signes |
Pour montrer qu'une suite est arithmétique : calculer u(n+1) − uₙ et montrer que c'est une constante r indépendante de n.
Pour montrer qu'une suite est géométrique : calculer u(n+1) / uₙ (si uₙ ≠ 0) et montrer que c'est une constante q indépendante de n.
Certaines suites ne sont ni purement arithmétiques ni purement géométriques. La méthode de la suite auxiliaire permet de s'y ramener.
Situation type : u(n+1) = a·uₙ + b avec a ≠ 1 et a ≠ 0.
Méthode en 3 étapes :
On peut alors exprimer vₙ puis uₙ = vₙ + ℓ, et étudier la convergence.
La trigonométrie repose sur le cercle unité (rayon 1). Tout angle y correspond à un point dont les coordonnées sont exactement (cos θ ; sin θ). Clique sur un angle pour voir ses valeurs.
| Angle | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∄ |
Astuce : sin(0→π/2) suit la suite √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Et cos fait la même chose à l'envers.
Pour résoudre cos(x) = a ou sin(x) = a, on utilise le cercle trigonométrique et les symétries.
Les probabilités mesurent la chance qu'un événement se produise. La clé : toujours dessiner un arbre ou un tableau — ça évite 90% des erreurs.
P(B|A) se lit "la probabilité de B sachant que A est réalisé". On restreint l'univers aux cas où A se produit.
Indépendance : A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A)·P(B), ce qui implique P(B|A) = P(B).
Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers (événements disjoints dont l'union fait tout), alors :
Cas le plus fréquent au bac : partition en A et Ā :
Méthode : dessine toujours l'arbre de probabilités. Les probabilités se multiplient sur une branche, se additionnent entre les branches qui mènent au même événement.
Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. On la résume par sa loi de probabilité : le tableau des valeurs xᵢ et de leurs probabilités P(X=xᵢ).
Propriétés : E(aX+b) = a·E(X)+b · V(aX+b) = a²·V(X) · σ(aX+b) = |a|·σ(X)
Contexte : on répète n fois une épreuve de Bernoulli (succès avec probabilité p, échec avec 1−p). X = nombre de succès. X suit la loi B(n, p).
La fonction exponentielle, notée exp(x) ou eˣ, est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. Elle est strictement positive et croissante sur ℝ. Elle est au cœur des modèles de croissance continue.
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Dérivée | (eˣ)′ = eˣ |
| Limite en +∞ | lim eˣ = +∞ |
| Limite en −∞ | lim eˣ = 0⁺ |
| Variation | Strictement croissante sur ℝ |
Par la règle de dérivation composée (eᵘ)′ = u′·eᵘ, avec u = ax+b :
Comme e^(ax+b) est toujours strictement positif, le signe de f′ est celui de a :
| Signe de a | Variation de f |
|---|---|
| a > 0 | f strictement croissante sur ℝ |
| a < 0 | f strictement décroissante sur ℝ |
Équation : e^(ax+b) = k ⟺ ax+b = ln(k) (pour k > 0).
La suite géométrique uₙ = u₀ · qⁿ peut s'écrire sous forme exponentielle :
Ainsi, une suite géométrique de raison q > 0 est une exponentielle discrète. Les phénomènes de croissance continue (population, radioactivité) se modélisent par des exponentielles.
Variation de qⁿ : si q > 1, qⁿ → +∞ (croissance exponentielle) ; si 0 < q < 1, qⁿ → 0 (décroissance exponentielle).
Exemples courants :
Tableau de variations : le signe de (eᵘ)′ est celui de u′, car eᵘ > 0 pour tout u réel. La fonction eᵘ a donc les mêmes variations que u.
Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel. Il permet de calculer des angles, des longueurs, de caractériser l'orthogonalité, et de décrire des cercles et des droites.
Pour deux vecteurs u→ et v→ du plan, le produit scalaire se note u→ · v→ :
où θ est l'angle entre u→ et v→. Si u→ = (x ; y) et v→ = (x′ ; y′), alors :
Bilinéarité : le produit scalaire est linéaire par rapport à chaque vecteur :
La bilinéarité permet de développer les produits scalaires comme des produits algébriques ordinaires.
Grâce à la bilinéarité, on retrouve les mêmes formes qu'en algèbre :
Formule de polarisation : on peut retrouver le produit scalaire à partir des normes :
Deux vecteurs u→ et v→ sont orthogonaux si et seulement si :
Projeté orthogonal : le projeté orthogonal de v→ sur la droite dirigée par u→ (u→ ≠ 0→) est le vecteur :
C'est le multiple de u→ le plus proche de v→. La différence v→ − v→_proj est orthogonale à u→.
Le produit scalaire est symétrique (commutatif) :
Cette propriété évidente sur la formule analytique (x·x′+y·y′ = x′·x+y·y′) est essentielle pour tous les développements. Elle découle aussi de la définition géométrique car cos(θ) = cos(−θ).
Pour un triangle ABC quelconque, avec a = BC, b = AC, c = AB et l'angle  en A :
Démonstration : BC→ = BA→ + AC→. En élevant au carré scalaire :
Or BA→·AC→ = c·b·cos(π−Â) = −bc·cos(Â), d'où a² = b² + c² − 2bc·cos(Â).
Cas particulier : si  = 90° (triangle rectangle), cos(90°)=0 et on retrouve a² = b² + c², le théorème de Pythagore.
Le cercle de centre Ω(x₀ ; y₀) et de rayon R a pour équation :
Cette équation vient de ||MΩ→|| = R, soit (x−x₀)²+(y−y₀)² = R².
Milieu I de [AB] : les coordonnées du milieu sont :
Caractérisation : I est le milieu de [AB] si et seulement si IA→ + IB→ = 0→, ou encore pour tout point M : MA→ + MB→ = 2·MI→.
Diamètre : un point M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA→ · MB→ = 0 (triangle rectangle en M).
Une droite du plan peut être décrite par une équation cartésienne de la forme :
Le vecteur n→ = (a ; b) est un vecteur normal à la droite : il est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite.
Lien avec le produit scalaire : un point M(x ; y) appartient à la droite passant par A et de vecteur normal n→ si et seulement si :
En développant, on retrouve la forme a·x + b·y + c = 0 avec c = −a·x_A − b·y_A.
L'équation réduite d'une droite non verticale s'écrit :
À partir de l'équation cartésienne a·x + b·y + c = 0 (avec b ≠ 0), on obtient :
Parallélisme : deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux (m = m′) ou, en cartésien, si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Orthogonalité : deux droites d'équations a·x+b·y+c=0 et a′·x+b′·y+c′=0 sont perpendiculaires si :
Avec les coefficients directeurs m et m′ : deux droites sont perpendiculaires si m · m′ = −1 (pour des droites non verticales).
| Notion | Formule / Condition |
|---|---|
| Analytique | u→·v→ = x·x′ + y·y′ |
| Géométrique | u→·v→ = ||u→||·||v→||·cos(θ) |
| Orthogonalité | u→·v→ = 0 |
| Projeté orthogonal | v→_proj = (u→·v→/||u→||²)·u→ |
| Al-Kashi | a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) |
| Cercle | (x−x₀)² + (y−y₀)² = R² |
| Milieu de [AB] | I = ((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2) |
| Droite (cartésienne) | a·x + b·y + c = 0, vecteur normal n→=(a;b) |
| Droite (réduite) | y = m·x + p, m = −a/b |
| ⊥ droites | a·a′ + b·b′ = 0 ou m·m′ = −1 |
Sélectionne les chapitres à réviser :